Monotonie


Funktionsgraphen


Definition


Bergauf, bergab oder waagrecht: als Monotonie bezeichnet man im Zusammenhang mit Funktionsgraphen, ob sie von links nach rechts betrachtet aufwärts, abwärts oder horizontal verlaufen. Das ist hier näher erklärt.

Was bedeutet Monotonie in der Mathematik?


Der Begriff Monotonie gehört innerhalb der Mathematik in das Thema Analysis. Innerhalb der Analysis steht die Monotonie eng im Zusammenhang mit der Steigung von Graphen von Funktionen. Die Monotonie beschreibt Gemeinsamkeiten bezüglich der Steigung, die alle Punkte in einem interessierenden Intervall haben. Well die Steigung aller Punkt in einem Intervall zum Beispiel positiv ist, dann ist die Monotonie in diesem Intervall positiv. Haben alle Punkte in einem Intervall eine negative Steigung, ist die Monotonie in diesem Intervall fallend.

Welche Arten von Monotonie unterscheidet man?


◦ Man betrachtet den Graphen von links nach rechts:
◦ Nur bergauf oder waagrecht: => Monoton steigend
◦ Nur bergab oder waagrecht: => Monoton fallend
◦ Nur bergauf: => streng monoton steigend
◦ Nur bergab: => streng monoton fallend

Wie erkennt man Monotonien rechnerisch?


◦ Man bestimmt zu f(x) die erste Ableitung f'(x).
◦ Man betrachtet die Funktionswerte von f'(x).
◦ Für x Werte wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) monoton fallend.
◦ Für x Werte wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) monoton steigend.
◦ Mehr dazu unter => Monotonie erkennen

Was ist der Unterschied von Monotonie und mittlerer Steigung?


Sowohl bei der Monotonie als auch bei einer mittleren Steigung betrachtet man die Steigung in einem Intervall oder zwischen zwei Punkten eines Graphen. Während bei der mittleren Steigung ein einziger Durchschnittswert für alle Punkte im Intervall gebildet wird, betrachtet man bei der Monotonie jeden Punkt in einem Intervall einzeln und entscheidet dannn nur, ob diese Punkte alle zusammen eine positive oder eine negative Steigung haben.

Kann ein ganzer Graph eine Monotonie haben?


Normalerweise hat man im Zusammenhang mit der Monotonie eines oder mehrere Intervalle, für die man sich interessiert. Man sagt dann zum Beispiel dass der Graph einer Funktion im Intervall von 1 bis 4 monoton steigend ist. Betrachtet man einen Graphen für alle überhaupt möglichen Werte, dann kommt es oft vor, dass der Graph in manchen Bereichen fällt, in anderen aber steigt oder waagrecht verläuft. Der ganze Graph hat also keine einzelne Monotonie sondern verschiedene Bereiche mit unterschiedlichen Monotonien. Das trifft bereist für die Normalparabel - also der Graph von f(x)=x² - zu. Der linke Parabelast ist monoton fallend, der rechte Parabelast ist monoton steigend. Siehe dazu auch die => Normalparabel