Moivrescher Satz


Komplexe Zahlen


Basiswissen


(4+2i)³ - der Moivresche Satz sagt, wie man eine komplexe Zahl hoch einem Exponenten rechnet. Es gibt dabei eine einfache anschauliche Deutung.

Vorab


◦ Von jeder komplexen Zahl sind beliebige Potenzen definiert.
◦ Als Exponent können ganze oder auch gebrochene Zahlen vorkommen.

Moivrescher Satz


◦ Es gilt: z^q = r^q·[cos(q·phi)+i·sin(q·phi)]

Legende


◦ z = eine beliebige komplexe Zahl
◦ q = eine beliebige reelle Zahl
◦ r = der Betrag von z (Abstand vom Urspung)

Anschaulich


Stellt man sich eine komplexe Zahl als Punkt in einem kartesischen Koordianatensystem vor, dann bewirkt eine Potenzierung mit einer natürlichen Zahl (hoch n) Folgendes: der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung (der Betrag) wird auf das n-fache vergrößert. Und: der Winkel, den die Linie von dem Punkt zum Koordinatenursprung mit der x-Achse einschließt (das Argument), wird ebenfalls auf das n-fache vergrößert. Siehe als einfaches Beispiel auch => komplexe Zahl quadrieren

Tipps


◦ Mit diesem Satz kann man leicht beliebige Potenzen einer komplexen Zahl bilden.
◦ Setzt man für den Exponenten die Zahl 0,5 ein, kann man damit die Wurzel von z ziehen.