Moivrescher Satz
Komplexe Zahlen
Basiswissen
(4+2i)³ - der Moivresche Satz sagt, wie man eine komplexe Zahl hoch einem Exponenten rechnet. Es gibt dabei eine einfache anschauliche Deutung.
Vorab
- Von jeder komplexen Zahl sind beliebige Potenzen definiert.
- Als Exponent können ganze oder auch gebrochene Zahlen vorkommen.
Moivrescher Satz
- Es gilt: z^q = r^q·[cos(q·phi)+i·sin(q·phi)]
Legende
- z = eine beliebige komplexe Zahl
- q = eine beliebige reelle Zahl
- r = der Betrag von z (Abstand vom Urspung)
Anschaulich
Stellt man sich eine komplexe Zahl als Punkt in einem kartesischen Koordianatensystem vor, dann bewirkt eine Potenzierung mit einer natürlichen Zahl (hoch n) Folgendes: der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung (der Betrag) wird auf das n-fache vergrößert. Und: der Winkel, den die Linie von dem Punkt zum Koordinatenursprung mit der x-Achse einschließt (das Argument), wird ebenfalls auf das n-fache vergrößert. Siehe als einfaches Beispiel auch komplexe Zahl quadrieren ↗
Tipps
- Mit diesem Satz kann man leicht beliebige Potenzen einer komplexen Zahl bilden.
- Setzt man für den Exponenten die Zahl 0,5 ein, kann man damit die Wurzel von z ziehen.