Lösungskinetik (Quadratmodell)
Chemie
Grundidee
Pulverförmiges Natriumsulfat wird in Wasser gegegeben. Es löst sich dann auf. Wie viel Natriumsulfat sich nach welcher Zeit aufgelöst hat, kann man recht gut mit einem einfachen mathematischen Modell mit Holzwürfeln nachstellen. Das ist hier kurz vorgestellt.
Der chemische Hintergrund
In einem realen Versuch wurden rund 5 Gramm pulverförmiges Natriumsulfat in einen Messbecher mit Wasser bei Raumtemperatur gegeben. Wie viel Natriumsulfat im Wasser gelöst ist, nennt man die Konzentration. Diese Konzentration wurde indirekt über die Stromstärke zwischen zwei Elektroden im Wasser gemessen. Die Stromstärke war damit eine sogenannte Proxy-Variable für die Konzentration. Es zeigt sich, dass die Konzentration zunächst sehr steil anstieg, dann aber immer langsamer. Der Graph der Konzentration über die Zeit sah wie der linke Ast einer nach unten geöffneten Parabel aus, die in ihrem Scheitelpunkt in eine waagrechte Linie, die Sättigung, überging. Mehr dazu, auch die originalen Messdaten, steht im Artikel Lösungskinetik (Natriumsulfat) ↗
Die Idee zur Modellierung
Aus vielen kleinen Holzwürfeln wird ein größeres Quadrat der Kantenlänge n gelegt. Das kleine n bezeichnet dabei die Breite und Höhe des Quantendrates gemessen in Würfeln. Das Quadrat liegt auf einer Tischfläche. In dem Modell wird nun angenommen, dass diese Quadrat von einer umgegebenen Flüssigkeit nur von seinen vier Kanten her aufgelöst wird. An der Quadratoberseite und an der Quadratunterseite greift keine Flüssigkeit an. Nun soll in jeweils einer Einheit der Zeit die momentan äußerste Lage des Quadrates gelöst werden. Wenn das Quadrat zu Beginn einer Zeiteinheit die Kantenlänge n hatte, dann ist die Kantenlänge genau eine Zeiteinheit später n-1. Da pro Zeiteinheit genau eine Lage abgelöst wird, kann die Anzahl n der abgelösten Lagen stellvertretend (Proxy-Variable) auch für die Zeit t verwendet werden. Damit steht n für die Zeit des Auflösevorganges. Die Anzahl der so aus dem Quadrat herausgelösten Würfel steht stellvertretend für die Konznetration im Wasser. Das ist der Funktionswert K.
Die Konzentrationsanstiegsformel
- K = N²-(N-2n)²
Legende
- K = Konzentration nach n Ablösungsschritten
- N = Breite und Höhe des Quadrates zu Beginn, als Kantenlänge ↗
- n = Anzahl der abgelösten Lagen, Anzahl der Zeiteinheiten
- - = Ein normales Minuszeichen ↗
- ² = Quadratzeichen hoch zwei ↗
Definitionsbereiche
N und n dürfen nur natürliche Zahlen einschließlich der Null sein. Der maximal erlaubte Wert für das kleine n ist eins weniger als die Hälfte des Anfangswertes N. Die Werte für K sind dann automatisch ebenfalls natürliche Zahlen, und zwar von 0 bis N. Man schreibt kurz N, n
Beispielrechnung
Angenommen das Quadrat habe am Anfang des modellhaften Auflösevorganges eine Kantenlänge N von 10 Würfellängen. Dann ergeben sich folgende Werte:
- n = 0 -> gibt -> K = 0
- n = 1 -> gibt -> K = 36
- n = 2 -> gibt -> K = 64
- n = 3 -> gibt -> K = 84
- n = 4 -> gibt -> K = 100
Konzentrations-Zeit-Profil
Trägt man die Werte oben als Graph mit n als unabhängiger Variablen (wie x) und K als abhängiger Variablen (wie y) auf, so entsteht ein sogenannten Konzentrations-Zeit-Profil. Die entstehende Kurve ist überall rechtgsgekrümmt und steigt zunächst steil an. Diese Steitung flacht von links nach rechts gesehen ab bis zum Scheitelpunkt bei n=1. Dort scheint die Steigung den Wert 0 zu haben (flacher Verlauf). Der K-Wert dieses Scheitelpunktes ist auch der Sättigungswert. Mathematisch gesehen handelt es sich hier um ein nach oben beschränktes Wachstum ↗
Wie praxistauglich ist das Modell?
Die Messwerte einer realen Auflösung von Natriumsulfatpulver in Wasser ergaben qualitativ einen sehr ähnlichen Kurvenverlauf wie das Quadratmodell. Jedoch ließen sich die Messwerte des praktischen Auflöseversuches nur als sehr grobe, qualitative Näherung als quadratische Funktion darstellen. Für die Daten eines Versuches aus einer Lernwerkstatt siehe unter Lösungskinetik (Natriumsulfat) ↗
Würfelmodell als Verbesserung?
Reale Natriumsulfatklumpen in Wasser sind eher körperhaft als flach. Das Wasser greift von allem Raumseiten her an und löst die obere Schicht ab. Eine Verbesserung des hier vorgestellten Quadratmodells wäre es möglicherweise, als Modell für Natriumklumpen einen großen Würfel aus vielen kleinen Kubikzentimeterwürfeln zu verwenden. Für eine Kantenlänge n=3 ergäbe sich dann zum Beispiel ein Würfelvolumen von 27 Kubikzentimetern.
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