Krümmung
Graphen
Definition
Gibt an, ob ein Funktionsgraph von links nach rechts gehend eine Links- oder Rechtskurve macht. Die Stärke der Krümmung spielt keine Rolle, nur die Richtung. Die Berechnung erfolgt über die zweite Ableitung f''(x).
Was meint das in der Schulmathematik?
- In der Schulmathematik gehört das Wort zum Thema Kurvendiskussion.
- Es geht immer um die Graphen von Funktionen, z. B. f(x)=4x³-x².
- Man unterscheidet Linkskrümmung und Rechtskrümmung.
- Ein Graph kann in manchen Bereichen linksgekrümmt sein.
- Derselbe Graph kann in anderen Bereichen rechtsgekrümmt sein.
- Es gibt auch Graphen oder Teile von Graphen ohne Krümmung.
- (Ohne Krümmung meint hier dasselbe wie "Krümmung ist 0.)
Was meint linksgekrümmt?
- Wo ein Graph eher auf ein Loch passt ist er => linksgekrümmt
- Der Graph erscheint dort auch wie => nach oben geöffnet
- Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist positiv.
- Mehr dazu unter => Linkskrümmung
Was meint rechtsgekrümmt?
- Wo ein Graph eher auf einen Hügel passt ist er => rechtsgekrümmt
- Der Graph erscheint dort auch wie => nach unten geöffnet
- Der Wert der zweiten Ableitung f''(x) ist negativ.
- Mehr dazu unter => Rechtskrümmung
Wie berechnet man die Krümmung?
- Dazu braucht man die => zweite Ableitung
- Wie das genau geht steht unter => Krümmung bestimmen
Was ist ein Wendepunkt?
- Das ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen.
- An diesem Punkt wechselt die Krümmung von links nach rechts ...
- oder von rechts nach links.
- Mehr unter => Wendepunkt
Beispiel
- Man betrachte den Graphen von: f(x) = x³-2x²
- Dier erste Ableitung ist: f'(x) = 3x²-4x
- Die zweite Ableitung ist: f''(x) = 6x-4
- Der Wendepunkt WP liegt bei: x≈0,67
- Links vom WP ist der Graph => rechtsgekrümmt
- Rechts vom WP ist der Graph => linksgekrümmt
Die Stärke einer Krümmung
- In der Schulmathematik geht es nur um links oder rechts.
- Das wird oft auch Krümmungsverhalten genannt.
- Die Stärke der Krümmung heißt Krümmungsmaß.
- Krümmungsmaß meint dasselbe wie geometrische Krümmung.
- Das wird normalerweise in der Schulmathematik nicht behandelt.
- Dazu siehe unter => Krümmungsmaß
Tipps
- Krümmung meint in der Schulmathematik: links oder rechts
- Krümmung meint nicht, wie stark ein Graph gekrümmt ist.
- Wo sich die Krümmung ändert, liegt ein Wendepunkt vor.
- Die zweite Ableitung gibt einem die Krümmung.
- Mehr unter => zweite Ableitung bilden
Krümmung von Flächen und Räumen
- In der Geometrie und Physik spricht man auch von gekrümmten Flächen und Räumen.
- In diesen Gebilden nimmt zum Beispiel die Kreiszahl pi andere Werte als 3,14 an.
- Auch gelten dort andere geometrische und physikalische Gesetze.
- Siehe unter => Flächenkrümmung
- Siehe unter => Raumkrümmung
