Knickfrei
Definition
Basiswissen
Knickfrei heißt für Funktionsgraphen: es gibt keine Punkte, bei denen sich die Steigung sprunghaft ändert. Sollen zwei Graphen an einem Punkt knickfrei zusammengefügt werden, dann muss die erste Ableitung des x-Wertes dort für beide Funktionen genau den gleichen Wert für f'(x) haben. Zusätzlich muss die Funktion an der betrachteten Stelle auch stetig sein. Das ist hier näher erklärt.
Was heißt stetig bei einer Funktion?
Eine Funktion ist überall dort stetig, wo sich die Punkte des Graphen mit ihren Nachbarpunkten berühen. Wo sie das nicht tun, ist die Funktion auch nicht stetig. Um stetig an einer Stelle zu sein darf der Graph dort weder eine Lücke noch einen Sprung haben. Bei abschnittsweise definierten Funktionen muss an der Nahtstelle der Funktionswert für beide Teilfunktionen gleich sein[1]. Wo eine Funktion stetig ist kann sie einen Knick haben oder auch nicht. Beides ist erlaubt. Lies mehr unter stetige Funktion ↗
Knickfreiheit bei abschnittsweise definierten Funktionen
Es gibt Funktionen, die intervallweise oder abschnittsweise mit unterschiedlichen Funktionsgleichungen definiert sind. Bei solchen Funktionen betrachtet man auf jeden Fall die Verbindungsstellen verschiedener Intervalle. An den Stellen (x-Werte) muss die erste Ableitung für die linke Funktion gleich der ersten Ableitung für die rechte Funktion sein. Nur dann ist die Funktion an einer solchen Verbindungsstelle knickfrei. Zusätzlich muss die Funktion an solchen Stellen auch stetig sein. Ein Synonym für knickfrei ist differenzierbar[1]. Siehe auch unter abschnittsweise definierte Funktion ↗
Knickfreiheit bei durchgehend definierten Funktionen
Durchgehend heißt hier, dass die Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich mit nur einer Funktionsgleichung definiert ist. Um zu überprüfen, dass es keine Knicke gibt, kann man als erste Orientierung den Graphen interpretieren. Vermutet man Knicke an einer Stelle, muss man für diesen Stelle den linksseitigen und den rechtseitigen Grenzwert für die Steigung bilden. Nur wenn beide Grenzwerte identisch sind, ist die Funktion an der Stelle knickfrei.
Was ist eine Stelle, was ein Punkt?
Im Zusammenhang mit knickfreien Graphen ist manchmal die Rede von Punkten und manchmal von Stellen. Eine Stelle ist immer irgendwo auf der x-Achse. Wenn man zum Beispiel von der Stelle x=2 spricht, dann meint das die 2 auf der x-Achse. Bei einem Graphen gibt es dann meistens einen Punkt der senkrecht über dieser Stelle, auf dieser Stelle oder unter dieser Stelle liegt. Indirekt ist mit der Stelle auch immer der dazugehörige Punkt mitgemeint. Den y-Wert des Punktes erhält man, wenn man den x-Wert in die Funktionsgleichung f(x) einsetzt. Siehe auch Stellen von Graphen ↗
Was ist der Unterschied zur Ruckfreiheit?
Eine Funktion, die an einer bestimmten Stelle knickfrei ist, kann dort auch ruckfrei sein, muss es aber nicht. Ruckfrei heißt, dass an der Stelle sowohl die y-Werte, als auch die ersten Ableitungen f'(x) sowie auch die zweiten Ableitungen f''(x) links und rechts von dem Punkt identisch sind[1]. Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann man das an der betreffenden Stelle mit der linken und rechten Funktionsgleichung überprüfen. Was Ruckfreiheit physikalisch bedeutet ist näher erklärt unter ruckfrei ↗
Welche Funktionen sind nicht knickrei?
Es gibt viele durchgehende Funktionen mit Knicken. Ein bekanntes Beispiel ist die Betragsfunktion, ein anderes Beispiel die etwas skurrile Zickzack-Funktion ↗
Fußnoten
- [1] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-7426-2215-0. Seite 17.
