Integralzeichen


∫f(x)·dx


Basiswissen


∫f(x)·dx liest man als: Das Integral von f(x) in den Grenzen von a bis b. Eine Zahl für a steht dabei immer links unten am Integralzeichen und b oben links am Integralzeichen. Es meint: bilde eine Stammfunktion zu f(x). Diese Stammfunktion nennt man dann F(x). Rechne dann F(b)-F(a). Das Ergebnis nennt man das Integral. Das ist hier ausführlich erklärt.

Eine Säule


◦ Man hat einen Funktionsgraphen in einem xy-Koordinatensystem.
◦ Irgendwo auf der Achse wählt man eine Stelle x aus, z. B. x=2.
◦ Über diesem Punkt x auf der x-Achse zeichnet man dann eine schmale Säule:
◦ Ihre Breite nennt man dx. Ihre Höhe geht bis zum Graphen von f(x):
◦ Also gibt der Funktionswert f(x) auch die Säulenhöhe an.
◦ Multipliziert man die Höhe f(x) mit der Breite dx ...
◦ erhält man den Flächeninhalt dieser Säule:
◦ Säulenfläche = f(x)·dx

Viele Säulen


◦ Man kann nun zwei Stellen auf der x-Achse auswählen:
◦ Die linke Stelle nennt man a, die rechte Stelle b.
◦ Man kann gedanklich von a bis b einzelne Säulen bilden.
◦ Jede Säulenfläche für sich berechnet man über f(x)·dx.
◦ Wenn die Säulen keine Lücken haben und sich nicht überlappen, ...
◦ dann kann man alle diese Säulenflächen zwischen a und b aufaddieren.
◦ Sie entsprechen dann einigermaßen gut der Flächen zwischen f(x) und der x-Achse.
◦ Der Ausdruck: ∫f(x)·dx meint genau das: addiere Säulenflächen auf.
◦ Das Zeichen ∫ ist ein stilisiertes S und steht für eine Summe.
◦ Mehr dazu auch unter => Säulenmethode

Grenzwert


◦ Nun kann man gedanklich die Säulen zwischen a und b immer schmaler machen.
◦ Will man die gesamte Fläche von a nach b unter dem Graphen ausfüllen, enstehen dadurch immer mehr Säulen.
◦ Im Extremfall lässt man die Säulenbreite gegen 0 laufen und erhält dadurch Richtung unendlich viele Säulen.
◦ Dabei wird der Fehler in der Berechnung der Fläche unter dem Graphen von f(x) immer kleiner.
◦ Dass man diesen Grenzwert bildet wird über das Integralzeichen ∫ mit angedeutet.

dx oder ∆x


◦ Man unterscheide ∆x und dx.
◦ Man schreibt ∆x für reale breiten von fest gedachten Säulen.
◦ Man schreibt dx für die Säulenbreite im Grenzwertdenken.
◦ Das dx ist ein sogenanntes => Differential

a und b


◦ Die Zahlen a und b nennt man die Integrationsgrenzen.
◦ Das a steht immer links, das b steht immer rechts.
◦ a heißt auch => linke Integrationsgrenze
◦ b heißt auch => rechte Integrationsgrenze