Graphisch ableiten
f'(x) aus Graph von f(x) bestimmen
Basiswissen
Man hat den Graphen einer Funktion f(x) gegeben. Durch Interpretation charakteristischer Punkte sowie der Steigung soll man möglichst gut abschätzen, wie der Graph der Ableitung f'(x) aussieht. Die exakten Werte sind zweitranging. Das Ziel ist eine gute Skizze.
Was ist der Kerngedanke?
- Man geht auf einen beliebigen Punkt von f(x).
- Die Steigung von diesem Punkt ist gleich dem y-Wert von f'(x):
- Anders gesagt: Der Funktionswert von f'(x) ist die Steigung von f(x).
- Beispiel: wo f(x) waagrecht verläuft ist die Steigung von f(x) Null.
- Also hat dort f'(x) den y-Wert 0.
Was man vorab wissen sollte
- Die Steigung von f(x) ist dort positiv, wo ...
- der Graph von links nach rechts betrachtet bergbauf geht.
- Die Steigung von f(x) ist dort negativ, wo ...
- der Graph von links nach rechts betrachtet bergab geht.
- Die Steigung von f(x) ist dort gleich null,
- der Graph einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt hat.
1. Schritt: charakteristische Punkte auswerten
- Man fängt immer mit charakteristischen Punkten an:
- f(x) hat Extrempunkt ⭢ f'(x) hat dort eine => Nullstelle
- f(x) hat Sattelpunkt ⭢ f'(x) hat => Berührpunkt mit der x-Achse
- f(x) hat Wendepunkt ⭢ f'(x) hat ein einen => Extrempunkt
2. Schritt: Steigung dazwischen interpretieren
- Dann ergänzt man zwischen den Punkten den Graphen:
- f(x) geht von links nach rechts bergauf ⭢ f'(x) verläuft oberhalb der x-Achse
- f(x) geht von links nach rechts bergab ⭢ f'(x) verläuft unterhalb der x-Achse
Tipps
- In der Schulmathematik kommen meist nur ganzrationale Funktionen vor.
- Für ganzrationale Funktionen gibt es eine einfache Regel:
- Mit jedem Ableiten wird der Grad der Funktion um eins kleiner.
- Eine kubische (hoch-3) Funktion gibt abgeleitet eine => quadratisch Funktion
- Eine quadratische Funktion gibt abgeleitet eine => lineare Funktion
- Eine lineare Funktion gibt abgeleitet eine => konstante Funktion
- Eine konstante Funktion gibt abgeleitet die => Nullfunktion
