Globaler Hochpunkt
Analysis
Basiswissen
Ein Punkt im Definitionsbereich einer Funktion für den es keine höheren Punkte, also keine Punkte mit größerem y-Wert gibt, nennt man einen globalen Hochpunkt. Das heißt im Umkehrschluss: alle anderen Punkte im Definitionsbereich sind niedriger. Das ist hier weiter erklärt.
Begriffe zum globalen Hochpunkt
- Ein ganzer Punkt, z. B. (2|9) heißt globaler Hochpunkt ↗
- Der x-Wert für sich heißt globale Hochstelle ↗
- Der y-wert für sich heißt globaler Hochwert ↗
Definition
Tatsächlich gibt es zwei ähnliche aber leicht unterschiedliche Definitionen zum globalen Hochpunkt: in einer Variante ist der globale Hochpunkt ein Punkt der konkurrenzlos der höchste Punkt ist. Es gibt damit keinen anderen gleich hohen Punkten. Das würde dazu führen, dass die Sinusfunktion beispielsweise über ihren gesamten Definitionsbereich keine globalen Hochpunkte hätte. Eine andere Definition fordert nur, dass es keine höheren Punkte gibt. Damit hätte die Sinusfunktion unendlich viele globale Hochpunkte. Gleichzeitig bestünde aber auch eine konstante Funktion ausschließlich aus Hochpunkten. Beide Definitionen sind üblich. Im konkreten Einzelfall muss man entscheiden, welche der beiden Definitionen man verwendet soll oder möchte. Mehr unter Hochpunkt ↗
Bestimmung
- Erst die die linke und rechte Grenze des Definitionsbereiches festlegen.
- Statt einem Definitionsbereich ist oft auch ein Intervall angegeben.
- Dann über erste Ableitung Hochpunkte über Analysis ↗
- Dann drei verschiedene y-Werte bestimmen:
- a) den des linken Randes,
- b) den des Hochpunktes,
- c) den des rechten Randes.
- Dann davon den größten y-Wert nehmen.
- Der Punkt der dazu gehört ist der globale Hochpunkt.
- Man gibt ihn mit x- und y-Koordinate an, also etwa (2|4).
Bedeutung
- Ein lokaler Hochpunkt ist der höchste Punkt einer Mulde.
- Über das Ableiten findet man immer nur lokale Hochpunkte.
- Das kann - muss aber nicht - der höchste Punkt vom Graphen überhaupt sein.
- Weiter entfernt kann es noch höhere Punkte geben.
- Den höchsten Punkt überhaupt nennt man global.
- Mehr unter globaler Extrempunkt ↗