Exponentialkurve
Graph
Basiswissen
Als Exponentialkurve bezeichnet man den Graphen einer beliebigien Exponentialfunktion (x im Exponenten). Eine Exponentialkurve wird zu einer x-Richtung hin immer flacher und zur anderen Seite him immer Steiler. Es gibt weder Extrem- noch Wendepunkte.
Grundform
◦ Funktionsgleichung: f(x)=a^x
◦ Ausgesprochen als: f(x) = a hoch x
◦ a ist die die Basis der Potenz a^x.
◦ x ist die unabhängige Variable und der Exponent von a^x.
◦ Das kleine a steht dabei für eine beliebige positive Zahl.
◦ Beispiel wären: f(x)=2^x oder f(x)=85,9^x
◦ Solche Funktionen heißen => einfache Exponentialfunktion
◦ Ihr Graph hat einige typische Merkmale:
◦ Der y-Achsenabschnitt liegt immer bei (0|1).
◦ Der Graph hat keine Nullstellen.
◦ Siehe auch => Exponentialfunktionen
a
Je nachdem welche festen Zahlenwerte man für die Basis a des Funktionstermes a^x einsetzt, entstehen unterschiedliche Varianten des Funktionsgraphen. Die Menge aller so erzeugten Graphen kann man als Kurvenschar (Funktionsschar) deuten. Es werden üblicherweise die folgenden Fälle unterschieden:
a > 1
◦ a darf eine Zahl größer 1 sein.
◦ Beispiele: f(x)=2^x oder f(x)=1,05^x
◦ a > 1 ist typisch für ein => exponentielles Wachstum
◦ Der Graph steigt von links nach rechts immer steiler an.
◦ Der Graph hat überall eine positive Steigung.
◦ Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
◦ Es gibt keine Nullstelle.
0 < a < 1
◦ Das meint: 0 ist kleiner als a und a ist kleiner als 1.
◦ Anders gesagt: die Werte für a liegen zwischen 0 und 1.
◦ a Werte zwischen 0 und 1 sind typisch für Schrumpfungsprozesse:
◦ Der Graph fällt von links nach rechts immer flacher ab.
◦ Der Graph hat überall eine negative Steigung.
◦ Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
◦ Es gibt keine Nullstelle.
a = 0
◦ f(x)=0^x
◦ Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
◦ Für negative x-Werte und für x=0 ist der Funktionsterm nicht definiert.
◦ Für positive x-Werte verläuft der Graph auf der x-Achse.
◦ a = 0 gilt nicht als Exponentialfunktion.
◦ Siehe auch => Null hoch
a < 0
◦ Zum Beispiel: f(x)=(-2)^x
◦ Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
◦ Der Funktionsterm ist nicht für alle x-Werte definiert.
◦ Für x=0,5 ergäbe das beispielsweise -2 hoch 0,5.
◦ Das wäre identisch mit der Wurzel aus -2.
◦ Diese ist aber nicht definiert.
◦ a < 0 gilt nicht als Exponentialkuve.
a = e
◦ Wenn das kleine a den Wert e hat spricht man von einer => e-Funktion
◦ Das kleine e hat etwa den Wert 2,718 und heißt auch => eulersche Zahl
◦ Die e-Funktion ist ein Spezialfall einer Exponentialfunktion.
◦ Der Graph der einfachen e-Funktion hat eine besondere Eigenschaft:
◦ Die Steigung ist in jedem Punkt gleich dem Funktionswert: f'(x)=y
◦ Siehe auch => einfache e-Funktion
Transformationen
◦ Aus der Grundform f(x)=a^x können abgeleitete Graphen erzeugt werden.
◦ Möglich sind unter anderem Streckungen und Stauchungen.
◦ Möglich sind auch Verschiebungen entlang der Achsen.
◦ Mehr dazu unter => Graphen transformieren
