Exponentialkurve Graph Basiswissen Als Exponentialkurve bezeichnet man den Graphen einer beliebigien Exponentialfunktion (x im Exponenten). Eine Exponentialkurve wird zu einer x-Richtung hin immer flacher und zur anderen Seite him immer Steiler. Es gibt weder Extrem- noch Wendepunkte. Grundform Funktionsgleichung: f(x)=a^x Ausgesprochen als: f(x) = a hoch x a ist die die Basis der Potenz a^x. x ist die unabhängige Variable und der Exponent von a^x. Das kleine a steht dabei für eine beliebige positive Zahl. Beispiel wären: f(x)=2^x oder f(x)=85,9^x Solche Funktionen heißen einfache Exponentialfunktion ↗ Ihr Graph hat einige typische Merkmale: Der y-Achsenabschnitt liegt immer bei (0|1). Der Graph hat keine Nullstellen. Siehe auch Exponentialfunktionen ↗ a Je nachdem welche festen Zahlenwerte man für die Basis a des Funktionstermes a^x einsetzt, entstehen unterschiedliche Varianten des Funktionsgraphen. Die Menge aller so erzeugten Graphen kann man als Kurvenschar (Funktionsschar) deuten. Es werden üblicherweise die folgenden Fälle unterschieden: a > 1 a darf eine Zahl größer 1 sein. Beispiele: f(x)=2^x oder f(x)=1,05^x a > 1 ist typisch für ein exponentielles Wachstum ↗ Der Graph steigt von links nach rechts immer steiler an. Der Graph hat überall eine positive Steigung. Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1). Es gibt keine Nullstelle. 0 < a < 1 Das meint: 0 ist kleiner als a und a ist kleiner als 1. Anders gesagt: die Werte für a liegen zwischen 0 und 1. a Werte zwischen 0 und 1 sind typisch für Schrumpfungsprozesse: Der Graph fällt von links nach rechts immer flacher ab. Der Graph hat überall eine negative Steigung. Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1). Es gibt keine Nullstelle. a = 0 f(x)=0^x Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion. Für negative x-Werte und für x=0 ist der Funktionsterm nicht definiert. Für positive x-Werte verläuft der Graph auf der x-Achse. a = 0 gilt nicht als Exponentialfunktion. Siehe auch Null hoch ↗ a < 0 Zum Beispiel: f(x)=(-2)^x Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion. Der Funktionsterm ist nicht für alle x-Werte definiert. Für x=0,5 ergäbe das beispielsweise -2 hoch 0,5. Das wäre identisch mit der Wurzel aus -2. Diese ist aber nicht definiert. a < 0 gilt nicht als Exponentialkuve. a = e Wenn das kleine a den Wert e hat spricht man von einer e-Funktion ↗ Das kleine e hat etwa den Wert 2,718 und heißt auch eulersche Zahl ↗ Die e-Funktion ist ein Spezialfall einer Exponentialfunktion. Der Graph der einfachen e-Funktion hat eine besondere Eigenschaft: Die Steigung ist in jedem Punkt gleich dem Funktionswert: f'(x)=y Siehe auch einfache e-Funktion ↗ Transformationen Aus der Grundform f(x)=a^x können abgeleitete Graphen erzeugt werden. Möglich sind unter anderem Streckungen und Stauchungen. Möglich sind auch Verschiebungen entlang der Achsen. Mehr dazu unter Graphen transformieren ↗ Graph der Funktion f(x) = 2^x Gunter Heim Einfache Exponentialfunktion Funktionsgraphen [Liste] Exponentielles Wachstum Graphen transformieren Einfache e-Funktion Exponentialfunktion Obere Schranke Kurvenschar e-Funktion Funktionsgraphen Analysis Exponentialkurve auf Wikipedia Zurück zur Startseite