Exponentialfunktion in e-Funktion

Umformen

Kurzanleitung

Aus f(x) = a·bˣ wird f(x) = a·eˣˡⁿ⁽ᵇ⁾: die Ausgangsfunktion ist eine Exponentialfunktion, die zweite Funktion ist sowohl eine Exponential- als auch eine e-Funktion. Die e-Funktion ist ein Sonderfall einer allgemeinen Exponentialfunktion. Die Umformung und die Herleitung sind hier kurz vorgestellt.

Umformungs-Schema

f(x) = a·b^x -> umformen -> f(x) = a·e^(x·ln(b))

f(x) = a·bˣ -> umformen -> f(x) = a·eˣˡⁿ⁽ᵇ⁾

In Worten

Die Exponentialfunktion f(x) gleich a mal b hoch x kann umgeformt werden die die dazu äquivalente e-Funktion f(x) gleich a mal e hoch den natürlichen Logarithmus von b. Das kleine e ist die sogenannte Euerlsche Zahl e und hat unefähr den Wert 2,71828.

Zahlenbeispiel

f(x) = 2·4^x -> umwandeln -> f(x) = 2·e^(x·ln(4))

Den natürlichen Logarithmus ln(4) kann man ausrechnen:

ln(4) ≈ 1,386 - damit also: f(x) = 2·e^(1,386·x) ✔

Zahlenprobe

Wenn man in die ursprüngliche Form als Exponentialfunktion für x irgendeine Zahl einsetzt, zum Beispiel die Zahl 5, dann muss als Funktionswert dasselbe herauskommen, wie beim Einsetzen dieser Zahl 5 in die e-Funktion. Das wird hier kurz überprüft:

Für die Ausgangsfunktion: f(5) = 2·4^5 gibt als Funktionswert genau: 2048 ✔

Für die e-Funktion: f(5) = 2·e^(1,386·5) gibt gerundet: 2·e^(1,386·5) ✔

Die kleine Abweichung ergibt sich aus der Rundung von e.

Zur Herleitung siehe auch Potenzbasis umwandeln ↗