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Einheiten umwandeln über Substitution


Methode


Basiswissen


4,28 cm² ist welcher Flächeninhalt in mm²? Man setzt die alte Einheit in eine Klammer. Dann ersetzt - subtitutiert - man sie innerhalb der Klammer durch einen gleichwertigen Ausdruck mit der neuen Eineit: Aus 4,28 cm² wird erst ⭢ 4,28 (cm)² und dann ⭢ 4,28 (10 mm)². Ab hier ist das weitere Vereinfachen nur noch reine Mathematik: 4,28 (10 mm)² ⭢ Hochklammer auflösen ⭢ 4,28·100·mm² ⭢ Zahlenwerte ausrechnen ⭢ 428 mm² ✔

Was ist die Grundidee dieser Methode?


Man muss nur Grundbeziehungen zwischen grundlegenden Einheiten (Maßen) kennen. Hat man einmal die alte Einheit durch einen Ausdruck mit der gewünschten neuen Einheit substitutiert, kann man den so entstandenen Term rein mathematisch formal umformen. Es ist kaum Denkbarbeit nötig, bei der man sich oft auch unsicher fühlt. Man ersetzt den denkerischen Teil der Umwandlung durch ein starres Schema.

km/h in m/s


Eine typische Geschwindigkeit für Verkehrsflugzeuge mit Düsenantrieb ist 900 km/h. Wie groß ist die Geschwindigkeit in m/s? Man substituiert dazu km (als 1000 m) und Stunden (als 3600 s). Ab dann vereinfacht man nur noch: 900 km/h ⭢ 900 (1000 m)/(3600 s) = 900000/3600 m/s ⭢ 250 m/s. Siehe auch Flugzeuggeschwindigkeiten ↗

m/s in km/h


Ein Stein, der im Freien Fall nach fällt, hat nach 5 Sekunden Falldauer einer Geschwindigkeit von etwa 30 m/s. Man subsitutiert: 1 m = 0,001 km. Und: 1 s = 1/3600 h. Einsetzen gibt: 30 m/s ⭢ 30 · (0,001 km) / (1/3600 s) ⭢ vereinfachen ⭢ 108 km/h

Knoten in km/h


Eine typische Geschwindigkeit für einen großen Flugzeugträger sind 30 Knoten. Ein Knoten sind 1,852 km/h. Man setzt ein: 30 Kn ⭢ 30 · (1,852 km/h) ⭢ auflösen ⭢ 55,56 km/h. Siehe als Beispiel die USS Nimitz ↗

Kubikfuß in Kubikmeter


Am 10. April 2012 erschütterten zwei Gesteinslawinen die berühmte Bingham Canyon Copper Mine nahe Salt Lake City in den USA. Zwischen den Gesteinslawinen lagen etwa 90 Minuten. Die Gesteinsmassen erreichten Geschwindigkeiten bis 100 Meilen pro Stunde. Es heißt, das Volumen würde genügen, den gesamten Central Park in New York 20 Meter hoch zu bedecken. 14 Schwerlastkraftwagen wurden zerstört, Menschen kamen aber nicht zu schaden. Die insgesamt in Bewegung geratene Gesteinsmenge wurde mit 2,3 Milliarden Kubikfuß angegeben. Ein Fuß entsprechen 30,48 Zentimeter. Das Volumen in Kubikmetern wurde mit 65 Millionen angegeben[1]. Mit Hilfe der Einheitensubstitution kann man die Umrechnung überprüfen.

Wolkenmasse in Tonnen pro Kubikkilometer


Für Gewitterwolken findet die Angabe, dass sie bis zu 3 Gramm flüssiges Wasser pro Kubikmeter enthalten, kurz: 3 g/m³. Die Ausdehnung echter großer Gewitterwolken kann man oft gut in Kubikkilometern abschätzen. Große Wassermassen kann man sich besser in Tonnen als in Gramm vorstellen. So wandelt man g/m³ um in t/m³: 3 g/m³ ⭢ 3·(t/1000000)/(km/1000)³ ⭢ man muss eine Hochklammer auflösen und einen Doppelbruch umformen. Am Ende gibt das: 3000 t/km³.

Rechentipp Hochklammer auflösen


(100m)³ ist eine Hochklammer, die ganze Klamme wird hoch drei gerechnet. Steht in der Hochklammer nur ein Produkt, was beim Substitutionsverfahren hier so gut wie immer der Fall ist, kann man jeden Faktor einfach mit der Hochzahl schreiben. Aus (100m)³ wird also 100³m³. Zwischen der 100 und dem Meter m steht ein gedachtes Malzeichen. Die 100³ kann man jetzt ausrechnen und man erhält aus 100³·m³ 1000000 m³. Siehe auch Hochklammern auflösen ↗

Rechentipp Doppelbruch vereinfachen


(t/1000000)/(km³/1000000000) ist ein Doppelbruch. Der mittlere Schrägstrich ist der Hauptbruchstrich. Um das zu vereinfachen rechnet man den linken Bruch mal dem Kehrbruch des rechten Bruches. Aus (t/1000000)/(km³/1000000000) wird also: t/1000000 mal 1000000000/km³. Dann hat man Bruch mal Bruch und kann weiter kürzen und vereinfachen. Siehe auch Doppelbruch vereinfachen ↗

Aufgaben dazu


Einige Trainingsaufgaben zum Umwandeln von Einheiten über die Substitionsmethode sind hier als Quickcheck ( qck) zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck

Fußnoten