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Ebener Raum


Physik


Basiswissen


Was zunächst wie ein Widerspruch gilt, macht doch Sinn: als eben oder flach bezeichnet man einen Raum, in dem die 4 Axiome des Euklid gelten. Das ist hier kurz in seiner Bedeutung erklärt.

Der ebene Raum als Oxymoron


Als Oxyomoron bezeichnet man in sich widersprüchlich klingende Worte oder Begriffe: ein ebener Raum ist insofern ein Oxymoron, als dass eine Ebene etwas Zweidimensionalesist, in der Mathematik oft dargestellt mit einem xy-Koordinatensystem. Ein Raum hingegen steht üblicherweise für etwas dreidimensional Ausgedehntes, oft verbunden mit einem xyz-Koordinatensystem. In dieser klassischen Vorstellung von Ebenen (2D) und Räumen (3D) ist ein ebener oder flacher Raum ein Widespruch in sich selbst. Solche in sich widersprüchlichen Ausdrücke nennt man Oxymora ↗

Der Raum in der Physik und Topologie


In der Physik und der Topologie (Mathematik) wird das Wort Raum verallgemeinert: ein Raum ist dann ein zunächst abstraktes Gebilde, in dem man Punkte eindeutig verorten kann, zum Beispiel über Koordinaten. So definiert, kann auch eine Linie ein Raum sein, und zwar ein eindimensionaler. Eine Ebene ist dann ein zweidimensionaler Raum. Und das was man umgangssprachlich einen Raum nennt ist in dieser allgemeinen Sicht nur ein Sonderfall, nämlich ein dreidimensionaler Raum. In einer solchen Abstraktion kann man nun auch von vier- oder fünfdimensionalen Räumen sprechen. Siehe dazu auch Raum (Physik) ↗

Der ebene oder flache Raum


Ein ebener[1 ]oder flacher[2] Raum ist ein Raum (z. B. 3D), in dem die uns vertrauten Gesetze der Geometrie gelten. Diese uns vertrauten geometrischen Grundtatsachen fasste der antike griechische Denker Euklid in seinen vier sogenannten Axiomen, das heißt Grundtatsachen, zusammen:


Soweit wir es mit Messungen überprüfen können, gelten diese Axiome in dem von uns beobachtbaren Universum, also in unserem erfahrbaren 3D-Raum. Man kann sich nun aber diese Axiome des Euklid auch in einem zweidimensionalen Raum denken, zum Beispiel auf einem flachen Blatt Papier auf einer Tischfläche. Es ist unmöglich, auf einem flach ausgebreiteten Papier einen Widerspruch zu einem der Axiome zu konstruieren: sie gelten immer. Das ist aber nicht mehr der Fall, wenn man auf einer gekrümmten Ebene zeichnet, etwa auf der Oberfläche von einem Globus. Auch die Oberfläche eines Globus ist in der verallgemeinerten Sprache der Physik oder der Topologie eine Ebene. Hier nun gilt zum Beispiel das erste Axiom Euklids nicht mehr. Ein einfaches Gegenbeispiel erhält man, wenn man den Nord- und den Südpol als zwei Punkte betrachtet. Nach Euklid gibt es zwischen zwei Punkten immer nur genau eine kürzeste Verbindungsstrecke (1. Axiom). Zwischen dem Nord- und dem Süpol gibt es nun aber unendlich viele kürzeste Verbindungsstrecken. Jeder einzelne Meridian ist eine solche kürzeste Verbindungsstrecke. Man sieht, dass die Axiome zwar für flache Ebene gelten, nicht aber zwingend auch für eine gekrümmte Ebene. Nun verallgemeinert man wieder über eine Analogie und sagt: ein Raum, in dem die Axiome des Euklid gelten ist eben oder flach. Ein Raum, in dem das nicht der Fall ist nennt man dann entsprechend gekrümmt. Dies ist ein Gedankengang, wie man zur Idee eines ebenen Raumes gelangen kann. Eine weiteres Beispiel zu ebenen und gekrümmten Räumen behandelt die Seite Raumkrümmung und Winkelsummen ↗

Fußnoten