Dreidimensionale Funktion
z=f(w,x,y)
Definition
Dreidimensionale Funktionen haben genau drei unabhängige Variablen, zum Beispiel als w, x und y bezeichnet. Sie werden in die Funktionsgleichung eingesetzt und ergeben dadurch den Wert der abhängigen Variablen, oft z genannt. Dreidimensionale Funktion haben also vier Variablen. Sie werden oft in einem 3D-Koordinatensystem mit Dichtewolken oder Farbstufungen dargestellt. Das ist hier kurz erläutert.
Beispiele
- f(x,y) = cos(x+y+z)
- f(x,y) = w+x+y
Der Graph einer dreidimensionalen Funktion
Man stellt eine dreidimensionale Funktion oft in einem 3D-Koordinatensystem dar. Jedoch steht der Ort des Punktes in dem 3D-Koordinatensystem nur für die unabhängigen Variablen w, x und y. Der Funktionswert z muss anders veranschaulicht werden. Dazu nutzt man zum Beispiel Farben oder die Dichte von kleinen Punkten: je dunkler oder dichter der Graph an einer Stelle ist, desto größer soll dann zum Beispiel der Funktionswert sein. Ein typisches Beispiel ist die Darstellung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten von Elektronen in einem dreidimensionalen Atom im sogenannten Orbitalmodell ↗
Dreidimensionale Funktion als Skalarfeld
Interpretiert man die drei unabhängigen Variablen x, y und z als Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem, dann kann man jede so gedachten Punkt im Raum einen Zahlenwert zuordnen. Ein physikalisch sinnvoller Zahlenwert für einen Raumpunkt wäre zum Beispiel die Temperatur oder die elektrische Feldstärke oder - in der Chemie und Atomphysik - die Wahrscheinlichkeitsdichten in einem Orbitalmodell. Das Wort Skalar bezieht sich auf die zugeordnete Zahl, in Abgrenzung zu einem Vektor (siehe unten). Diese Interpretation einer dreidimensionalen Funktion als Zuordnung nennt man ein Skalarfeld ↗
Dreidimensionale Funktion als Vektorfeld
Interpretiert man die drei unabhängigen Variablen x, y und z als Koordinaten in einem 3D-Koordinatensystem, dann kann man jede so gedachten Punkt im Raum einen Vektor zuordnen. Ein physikalisch sinnvoller Vektor für einen Raumpunkt wäre zum Beispiel die Strömungsgeschwindigkeit und Richtung von Teilchen in einem Flüssigkeitsstrom oder die vektoriell gedachte elektrische Feldstärke. Diese Interpretatione einer dreidimensionalen Funktion als Zuordnung nennt man ein Vektorfeld ↗
