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Doppelter Dreisatz


Lösungsbeispiel


Basiswissen


4 Maurer machen in 3 Tagen 5 Meter Mauer. Wie lange bräuchten dann 6 Maurer für 20 Meter? Diesen Aufgabentyp bezeichnet man als doppelten Dreisatz oder auch Kettensatz. Die Lösungsidee hier sieht zunächst langwierig und umständlich aus, da sie ausführlich erklärt wird. Hat man die Rechnung aber einmal verstanden, ist der Lösungsweg sehr kurz unnd einfach. Man kann damit jeden doppelten Dreisatz auf eine immer gleiche Weise lösen.

Lösungsidee: analytisch vorgehen


Das größte Problem beim Lösen eines doppelten Dreisatzes ist es, dass der Kopf gleichzeitig sehr viele Dingen verarbeiten muss. In der Psychologie spricht man davon, dass das Arbeitsgedächtnis stark beansprucht wird. Man muss sich die gegebenen und gesuchten Größen merken und gleichzeitig überlegen, wie diese zusammenhängen. Das ist für viele Menschen zu viel auf einmal. Die Lösungsidee besteht dann darin, aus die Lösung in viele kleine übersichtliche Schritte aufzuspalten. Ein solches Vorgehen bezeichnet man als analytisch (in Teile zerlegend). Ein solcher analytischer Lösungsansatz ist hier kurz skizziert.

Schritt 1: Hauptworte benennen


Um den Merkaufwand für die oft längeren Texte der Fragestellung zu verkleinern, kann man die Texte auf genau drei Hauptworte, also Substantive, reduzieren. Diese Hauptworte sollten die mengenmäßigen Dinge bezeichnen, die gegeben und gesucht sind. Im Beispiel: 4 Maurer machen in 3 Tagen 5 Meter Mauer. Wie lange bräuchten dann 6 Maurer für 20 Meter? Man schreibt das als Hauptworte auf. Um später Übertragungsfehler zu vermeiden, sollte man die gesuchte Größe, also das, wonach gefragt ist, schon jetzt ganz rechts schreiben, also am Ende: a) Maurer, b) Mauermeter und c) Tage.

Schritt 2: erste Zeile, Tabelle mit Überschrift


Bewährt hat sich eine Tabellenschreibweise mit drei Spalten (oben nach unten) und sechs Zeilen (links nach rechts), also mit insgesamt achtzehn Feldern. In die oberste Zeile schreibt man die zuvor im Schritt 1 gefundenen Hauptworte. Wichtig: nach ganz rechts gehört immer das Wort für die gesuchte Größe. Im Beispiel trägt man von links nach rechts ein: Maurer, Mauermeter, Tage.

Schritt 3: zweite Zeile, Gegebenes ergänzen


In die zweite Zeile von oben trägt man jetzt passend zur Überschrift die gegebenen Zahlenwerte ein. Im Beispiel steht dann in der zweiten Zeile von links nach rechts: 4, 5 und ganz rechts die 3.

Schritt 4: sechste Zeile, Gesuchtes ergänzen


Ganz unten in der Tabelle, in die sechste Zeile, trägt man passend zur Überschrift die Zahlen zum Gesuchten ein. Das Feld ganz unten rechts bleibt dabei zunächst leer. Dort wird am Ende die Antwort eingetragen. Im Beispiel ganz links unten steht dann die Zahl 6 und im Feld ganz unten in der Mitte die Zahl 20.

Schritt 5: erste Spalte, Einsen eintragen


Nun sind noch drei Zeilen der Tabelle ganz frei: die dritte, die vierte und die fünfte Zeile. In die dritte und vierte Zeile trägt man jetzt ganz links die Zahl 1 ein. Man schreibt also die 1 in insgesamt 2 Felder.

Schritt 6: erste Spaltez, fünfte Zeile, fehlende Suchangabe


Auch das Feld ganz links in der fünften Zeile, also in der zweituntersten Zeile ist noch frei. Dort trägt man dieselbe Zahl ein, die im Feld ganz unten links in der Tabelle steht. Im Beispiel ist das die Zahl 6.

Schritt 7: Divisor für die dritte Zeile festlegen


Nun betrachtet man die die Zahlen ganz links in der Zeile 2 und der Zeile 3. Im Beispiel sind das die Zahlen 4 und die Zahl 1. (In der dritten Zeile ganz links steht in diesem hier erklärten Beispiel immer eine 1.) Um von der oberen Zahl zur 1 zu gelangen, kann man immer geteilt durch die obere Zahl rechnen, im Beispiel: 4 geteilt durch 4 gibt 1. Diese Geteiltzahl nennt man auch den Divisior. Diese Divisormethode funktioniert übrigens auch, wenn die Zahl ganz links in der zweiten Zeile kleiner ist als 1.

Schritt 8: dritte Zeile mitte und rechts


Wir sind noch immer in der dritten Zeile: nun fragt man sich: was passiert mit der Zahl ganz rechts in der dritten Zeile, wenn man links durch den Divisor teilt? Muss man ganz rechts auch durch den Divisor teilen oder mit ihm malrechnen? Nur eine von beiden Varianten ist richtig. Welche entscheidet der Sachzusammenhang. Man stellt sich dazu die wirkliche Situation mit den Maurern, Stunden und Maurermetern vor und benutzt zum Denken die Hauptworte aus der Tabellenüberschrift ganz oben. Man nimmt das Hauptwort von ganz oben links und das Hauptwort von ganz oben rechts und fragt: wenn die Sache links verdoppelt wird, wird dann in der Wirklichkeit auch die Sache rechts doppelt so viel oder groß? Falls ja, hat man eine proprtionale Beziehung und man muss man ganz rechts durch den Divisor (Im Beispiel die Zahl 4) teilen, falls nein liegt umgekehrte Proportionalit vor und man muss ganz rechts mit dem Divisor malrechnen. Im Beispiel: brauchen doppelt so viele Maurer auch doppelt so viele Tage? Im Beispiel lautet die Antwort "nein", also sind die Anzahl der Maurer und die Mauermeter zueinander umgekehrt proportional. Deshalb muss man ganz rechts die Gegenrechnung von ganz links durchführen, also mit 4 malrechnen. (Wäre die Antwort auf die Frage "ja" gewesen, dann müsste man links und rechts dieselbe Rechnung durchführen.) In der dritten Zeile stehen jetzt also von links nach rechts die Zahlen: 1, 5 und 12. Anschaulich heißt das: 1 Maurer bräuchte für 5 Mauermeter 12 Tage.

Schritt 9: vierte Zeile mitte und rechts


Nun sind wir in der vierten Zeile. Dort geht man genauso vor wie im vorherigen Schritt, nur betrachtet man jetzt nicht die Größe ganz links sondern die in der Mitte. Der Divisor, um von der Mitte der Zeile drei zur Mitte der Zeile vier zu kommen ist die Zahl 5. Man fragt jetzt: wenn sich die Mauermeter verdoppeln, verdoppelt sich dann auch die Anzahl der Tage dafür? Hier lautet die Antwort "ja". Wenn man doppelt so viele Mauermeter haben will, dann benötigt man dafür auch doppelt so viele Tage. Das heißt, dass man hier eine proportionale Beziehung hat. Wenn man in der Mitte durch 5 teilt, dann muss man jetzt also auch ganz rechts durch 5 teilen. Am Ende stehen jetzt in der vierten Zeile die Zahlen: 1, 1 und die Zahl 2,4. Das heißt, dass ein Maurer für einen Mauermeter 2,4 Tage braucht.

Schritt 10: fünfte Zeile ganz links


Jetzt sind wir in der fünften und vorletzten Zeile ganz links: wie kommt man von der Zahl darüber (der 1) zur Zahl dort, im Beispiel also der 6? Man rechnet mal 6. Jetzt nimmt man wieder die Hauptwörter aus der Überschrift, und zwar das ganz links und das ganz rechts und fragt: gibt die doppelte Anzahl Maurer auch die doppelte Anzahl an nötigen Tagen? Die Antwort ist "nein", also ist die Beziehung zwischen Maureranzahl und Tagen umgekehrt proportional. Wenn man links also mal 6 rechnet, muss man rechts durch 6 teilen. Ganz rechts rechnet man also 2,4 durch 6, das gibt 0,4. In der fünften Zeile stehen jetzt von links nach rechts die Zahlen: 6, 1 und die 0,4. Ausgesprochen heißt das: 6 Maurer brauchen für einen Meter Mauer 0,4 Tage.

Schritt 11: sechste und damit die letzte Zeile


Jetzt sind wird in der sechsten und letzten Zeile. Man betrachtet die Zahl in der zweiten Spalte, im Beispiel ist das die 20. Wie kommt man von der Zahl darüber zur 20? Man rechnet mal 6. Jetzt nimmt man wieder die Hauptwörter aus der Überschrift und fragt: gibt die doppelte Anzahl an Mauermeter auch die doppelte Anzahl an dafür nötigen Tagen? Die Antwort ist "ja", also sind die Mauermeter und die dafür nötigen Tage zueinander proportional. In der letzten Spalte rechnet man also ganz rechts auch mal 20. Damit erhält man ganz rechts die Zahl 8. In der letzten Zeile stehen jetzt von links nach rechts die Zahlen 6, 20 und 8. In Worten: Sechs Maurer brauchen für 20 Meter insgesamt 8 Tage.

Schritt 12: Probe und Antwortsatz


Der letzte Satz aus Schritt 11 ist gleichzeitig auch der Antwortsatz der ganzen Aufgaben. Vergleiche ihn noch einmal mit dem Fragesatz. Wenn sich alles richtig anfühlt, dann schreibe den Satz als endgültige Antwort auf: Sechs Maurer brauchen für 20 Meter insgesamt 8 Tage. ✓

Maurer-Beispiel



Hühnereier-Beispiel



Parkettleger-Beispiel



Arbeitskosten-Beispiel



Zeitungsjungen-Beispiel



Förderband-Beispiel



Wasserpumpen-Beispiel



Wasserhahn-Beispiel