Aufleitungsregeln


Übersicht


Herangehensweise


Produkt, Ketten- oder Potenzregel: hier stehen die wichtigsten Regeln zum Aufleiten kurz erklärt. Aufleiten, oft auch integrieren genannt, f(x) heißt so viel wie: für eine Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) bestimmen. Das Aufleiten kann als Umkehrung des Ableitens aufgefasst werden. Das Aufleiten ist deutlich schwerer, für viele Funktionen kennt man die Aufleitung noch nicht. Es gibt aber einige feste Regeln, die immer funktionieren. Diese Grundregeln sind hier kurz vorgestellt.

Was heißt aufleiten?


Aufleiten kann zwei ähnliche Dinge meinen: a) man soll für eine gegebene Funktion f(x) eine dazu passende Stammfunktion F(x) bestimmen, oder b) man soll für eine gegebene Funktion f(x) den Wert eines Integrals berechnens. Üblicherweise ist die erste Bedeutung a) gemeint, also das Bestimmen einer Stammfunktion F(x). Diese Bedeutung gilt für diesen Artikel hier. Lies mehr unter => aufleiten

Stammintegrale


◦ Standardard-Aufleitungen aus einer Formelsammlung nennt man auch Stammintegrale.
◦ Man kann sie direkt übernehmen ohne dass man selbst aufleiten muss.
◦ Das ist oft die einfachste und schnelllste Methode.
◦ f(x)=x gibt aufgeleitet F(x)=0,5x²
◦ f(x)=e^x gibt F(x)=e^x
◦ f(x)=1/x gibt F(x)=ln(x)
◦ Weitere Lösungen unter => Aufleitungen

Potenzregel


◦ Die Grundregel für x hoch irgendeine Zahl:
◦ f(x) = x¹ wird aufgeleitet zu F(x) = ½·x²
◦ x hoch n mit n als irgendeine Zahl kann man immer aufleiten zu:
◦ 1 durch n+1 und das mal x hoch n+1
◦ Mehr unter => aufleiten über Potenzregel

Summenregel


◦ Plusketten kann man stückweise aufleiten:
◦ 4x+2 wird aufgeleitet zu: 2x²+2x
◦ Man kann Summen gliedweise aufleiten:
◦ Der Funktionsterm ist eine Summe, etwa f(x)=4x+2
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=2x²+2x
◦ Dasselbe gilt auch für Differenzen (also mit minus).
◦ Mehr unter => Aufleiten über Summenregel

Differenzregel


◦ Minusketten kann man stückweise aufleiten:
◦ f(x) = 4x-2 wird aufgeleitet zu F(x) = 2x²-2x
◦ Der Funktionsterm ist eine Differenz, etwa f(x)=2x-14
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=x²-14x
◦ Im Prinzip analog dem => Aufleiten über Summenregel

Faktorregel


◦ Faktoren ohne Variablen bleiben erhalten:
◦ f(x) = ½·x wird aufgeleitet zu F(x) = ½·2·x²
◦ Vorfaktoren bleiben erhalten:
◦ Eine Zahl steht als Faktor vor dem Term mit x, etwa f(x)=3x²
◦ Faktor bleibt beim Aufleiten unverändert: F(x)=(1/3)·3·x³
◦ Mehr unter => Aufleiten über Faktorregel

Produktregel


◦ Eher aufwändig: das x steht auf zwei Seiten eines Malzeichens.
◦ f(x)=x·e^x
◦ Man hat ein Produkt und auf zwei Seiten des Malzeichens steht ein x.
◦ Solche Produkte können sehr schwer aufzuleiten sein.
◦ Es gibt aber gute Ansätze, um es zu probieren.
◦ Mehr unter => Partiell integrieren

Verschachtelung


◦ Funktion einer Funktion:
◦ Man hat verschachtelte Funktionen wie etwa f(x)=2x·cos(x²)
◦ Ein Teilterm mit x gibt abgeleitet den anderen Teilterm mit x.
◦ Im Beispiel: x² gibt abgeleitet 2x.
◦ Mehr unter => Integrieren über Substitution

Wofür gibt es noch keine Regel?


◦ Es gibt Funktionen, die man noch nicht aufleiten kann.
◦ Man nennt sie nicht integrierbar oder nicht aufleitbar.
◦ Ein Beispiel steht unter => e^(x^2) aufleiten

Was heißt Bronstein integrierbar?


◦ Halb scherzhaft:
◦ Der Bronstein ist Standard-Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaflter.
◦ Dort stehen auch viele Stammfunktionen für gegebene Funktionen f(x).
◦ Eine Funktion, die man mit diesem Buch integrieren kann,
◦ heißt => Bronstein integrierbar