Aufleitungsregeln


Liste


Herangehensweise


Aufleiten, oft auch integrieren genannt, f(x) heißt so viel wie: für eine Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) bestimmen. Das Aufleiten kann als Umkehrung des Ableitens aufgefasst werden. Das Aufleiten ist deutlich schwerer zu erlernen als das Ableiten. Für viele Funktionen gibt es noch keine zuverlässigen Verfahren. Es gibt aber eine fest Regeln. Diese Grundregeln sind hier kurz vorgestellt.

Stammintegrale


◦ Man nutzt Formelsammlungen für fertige Lösung:
◦ Häufige Lösungen nennt man auch Stammintegrale.
◦ f(x)=x gibt F(x)=0,5x²
◦ f(x)=e^x gibt F(x)=e^x
◦ f(x)=1/x gibt F(x)=ln(x)
◦ Weitere Lösungen unter => Aufleitungen

Potenzregel


◦ x¹ wird zu ½·x²
◦ x hoch n mit n als irgendeine Zahl kann man immer aufleiten zu:
◦ 1 durch n+1 und das mal x hoch n+1
◦ Mehr unter => aufleiten über Potenzregel

Summenregel


◦ 4x+2 wird zu 2x²+2x
◦ Man kann gliedweise aufleiten:
◦ Der Funktionsterm ist eine Summe, etwa f(x)=4x+2
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=2x²+2x
◦ Dasselbe gilt auch für Differenzen (also mit minus).
◦ Mehr unter => Aufleiten über Summenregel

Differenzregel


◦ 4x-2 wird zu 2x²-2x
◦ Der Funktionsterm ist eine Differenz, etwa f(x)=2x-14
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=x²-14x
◦ Im Prinzip analog dem => Aufleiten über Summenregel

Faktorregel


◦ ½·x wird zu ½·2·x²
◦ Vorfaktoren bleiben erhalten:
◦ Eine Zahl steht als Faktor vor dem Term mit x, etwa f(x)=3x²
◦ Faktor bleibt beim Aufleiten unverändert: F(x)=(1/3)·3·x³
◦ Mehr unter => Aufleiten über Faktorregel

Produktregel


◦ Erzeugt oft unhandliche Terme:
◦ Das x steht auf zwei Seiten eines Malzeichens, etwa: f(x)=x·e^x
◦ Mehr unter => Partiell integrieren

Verschachtelung


◦ Funktion einer Funktion:
◦ Man hat verschachtelte Funktionen wie etwa f(x)=2x·cos(x²)
◦ Ein Teilterm mit x gibt abgeleitet den anderen Teilterm mit x.
◦ Im Beispiel: x² gibt abgeleitet 2x.
◦ Mehr unter => Integrieren über Substitution

Wofür gibt es noch keine Regel?


◦ Es gibt Funktionen, die man noch nicht aufleiten kann.
◦ Man nennt sie nicht integrierbar oder nicht aufleitbar.
◦ Ein Beispiel steht unter => e^(x^2) aufleiten

Was heißt Bronstein integrierbar?


◦ Halb scherzhaft:
◦ Der Bronstein ist Standard-Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaflter.
◦ Dort stehen auch viele Stammfunktionen für gegebene Funktionen f(x).
◦ Eine Funktion, die man mit diesem Buch integrieren kann,
◦ heißt => Bronstein integrierbar