Aufleitungsregeln


Liste


Herangehensweise


Produkt, Ketten- oder Potenzregel: hier stehen die wichtigsten Regeln zum Aufleiten kurz erklärt. Aufleiten, oft auch integrieren genannt, f(x) heißt so viel wie: für eine Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) bestimmen. Das Aufleiten kann als Umkehrung des Ableitens aufgefasst werden. Das Aufleiten ist deutlich schwerer, für viele Funktionen kennt man die Aufleitung noch nicht. Es gibt aber einige feste Regeln, die immer funktionieren. Diese Grundregeln sind hier kurz vorgestellt.

Was genau heißt aufleiten? =====

Aufleiten kann zwei ähnliche Dinge meinen: a) man soll für eine gegebene Funktion f(x) eine dazu passende Stammfunktion F(x) bestimmen, oder b) man soll für eine gegebene Funktion f(x) den Wert eines Integrals berechnens. Üblicherweise ist die erste Bedeutung a) gemeint, also das Bestimmen einer Stammfunktion F(x). Diese Bedeutung gilt für diesen Artikel hier.

Stammintegrale


◦ Standardard-Aufleitungen aus einer Formelsammlung:
◦ Solche Lösungen nennt man auch Stammintegrale.
◦ f(x)=x gibt F(x)=0,5x²
◦ f(x)=e^x gibt F(x)=e^x
◦ f(x)=1/x gibt F(x)=ln(x)
◦ Weitere Lösungen unter => Aufleitungen

Potenzregel


◦ x¹ wird zu ½·x²
◦ x hoch n mit n als irgendeine Zahl kann man immer aufleiten zu:
◦ 1 durch n+1 und das mal x hoch n+1
◦ Mehr unter => aufleiten über Potenzregel

Summenregel


◦ 4x+2 wird zu 2x²+2x
◦ Man kann Summen gliedweise aufleiten:
◦ Der Funktionsterm ist eine Summe, etwa f(x)=4x+2
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=2x²+2x
◦ Dasselbe gilt auch für Differenzen (also mit minus).
◦ Mehr unter => Aufleiten über Summenregel

Differenzregel


◦ 4x-2 wird zu 2x²-2x
◦ Der Funktionsterm ist eine Differenz, etwa f(x)=2x-14
◦ Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=x²-14x
◦ Im Prinzip analog dem => Aufleiten über Summenregel

Faktorregel


◦ ½·x wird zu ½·2·x²
◦ Vorfaktoren bleiben erhalten:
◦ Eine Zahl steht als Faktor vor dem Term mit x, etwa f(x)=3x²
◦ Faktor bleibt beim Aufleiten unverändert: F(x)=(1/3)·3·x³
◦ Mehr unter => Aufleiten über Faktorregel

Produktregel


◦ f(x)=x·e^x
◦ Man hat ein Produkt und auf zwei Seiten des Malzeichens steht ein x.
◦ Solche Produkte können sehr schwer aufzuleiten sein.
◦ Es gibt aber gute Ansätze, um es zu probieren.
◦ Mehr unter => Partiell integrieren

Verschachtelung


◦ Funktion einer Funktion:
◦ Man hat verschachtelte Funktionen wie etwa f(x)=2x·cos(x²)
◦ Ein Teilterm mit x gibt abgeleitet den anderen Teilterm mit x.
◦ Im Beispiel: x² gibt abgeleitet 2x.
◦ Mehr unter => Integrieren über Substitution

Wofür gibt es noch keine Regel?


◦ Es gibt Funktionen, die man noch nicht aufleiten kann.
◦ Man nennt sie nicht integrierbar oder nicht aufleitbar.
◦ Ein Beispiel steht unter => e^(x^2) aufleiten

Was heißt Bronstein integrierbar?


◦ Halb scherzhaft:
◦ Der Bronstein ist Standard-Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaflter.
◦ Dort stehen auch viele Stammfunktionen für gegebene Funktionen f(x).
◦ Eine Funktion, die man mit diesem Buch integrieren kann,
◦ heißt => Bronstein integrierbar