Ähnlichkeit (Geometrie)
Definition
Basiswissen
In der Geometrie sind zwei Figuren (2D oder auch 3D) genau dann ähnlich, wenn sie genau dieselbe Form haben. Die Größe darf - muss aber nicht - verschieden sein.
Ausführliche Definition
Zwei Figuren - egal ob zweidimensional flach oder dreidimensional raumhaft - haben diselbe Form, wenn man die eine Form so drehen, spiegeln oder verschieben kann, dass daraus die zweite Figur entsteht.
Ähnlichkeit erkennen
Wie erkennt man, ob zwei Figuren zueinander ähnlich sind? Dazu gibt es verschiedene Methode. Sie sind beispielhaft vorgestellt unter ähnliche Dreiecke erkennen ↗
Für Vielecke
Dieselbe Form meint, alle sich entsprechenden Winkel sind gleich groß. Und: Man kann jede Länge von einer Figur mal eine feste Zahl malrechnen und hat dann die Länge der entsprechenden Seite der anderen Figur. Die feste Zahl ist der Ähnlichkeitsfaktor.
Beispiele
- Alle Kreise sind immer zueinander ähnlich.
- Alle Kugeln sind immer zueinander ähnlich.
- Alle Quadrate sind immer zueinander ähnlich.
- Alle Würfel sind immer zueinander ähnlich.
Abbildungen
- Man kann eine gegebene Figur neu zeichnen, sie sozusagen kopieren.
- In der Fachsprache der Geometrie nennt man solch eine Kopie auch eine Abbildung.
- Dabei kann die alte Figur (das Original) zum Beispiel verschoben, gedreht oder in der Größe geändert werden.
- Sind die alte und die neue Figur zueinander ähnlich, spricht man von einer Ähnlichkeitsabbildung
- Siehe mehr dazu unter Änlichkeitsabbildung (externer Link)
Ähnlichkeitsfaktor k
- Man hat zwei Figuren ...
- und will überprüfen ob sie ähnlich.
- Man nimmt die kleinere der zwei Figuren.
- Wenn es eine Zahl gibt, mit der man jede Seite der kleinen Figur multiplizieren kann, ...
- und dann hat man als Ergebnis immer die Länge der entsprechenden langen Seite, ...
- dann sind die zwei Figuren zueinander ähnlich, ansonsten sind sie es nicht.
- Mehr unter Ähnlichkeitsfaktor ↗
Verbindung zum Thema zentrische Streckung
- Durch eine zentrische Streckung entstehen immer ähnliche Figuren.
- Aus der Originalfigur wird über den Streckungsfaktor k eine Bildfigur erzeugt.
- Sowohl für 2D- und 3D-Figuren sind Originalfigur und Bildfigur immer ähnlich zueinander.
- Siehe auch zentrische Streckung ↗
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