Achsensymmetrie von Graphen


Übersicht


Basiswissen


Achsensymmetrie heißt allgemein: der Graph einer Funktion sieht schmetterlingsartig an einer geraden Linie, der Symmetrieachse, gespiegelt aus. Im engeren Sinn ist die y-Achse (senkrechte Achse) diese Symmetrieachse.

Was meint Achsensymmetrie in der Schulmathematik?


◦ In der Schulmathematik meint das meistens: zur y-Achse.
◦ Der Graph ist schmetterlingsartig an der y-Achse gespiegelt:
◦ Ein x-Wert und seine Gegenzahl haben dann immer den gleichen y-Wert.
◦ Formal definiert man Achsensymmetrie so: f(x) = f(-x).
◦ Das ist die Achsensymmetrie im engeren Sinn.
◦ Siehe auch unter => f(x) = f(-x)

Was ist Achsensymmetrie im allgemeinen Sinn?


◦ In der Schulmathematik wird Achsensymmetrie oft nur auf die y-Achse bezogen.
◦ Man sollte präziser immer sagen: "achsensymmetrisch zur y-Achse".
◦ Ein Graph kann aber auch symmetrisch zu einer ganzen anderen Achse sein.
◦ So ist zum Beisiel die Gerade g(x)=2x achsensymmetrisch zu a(x)=-0,5x.
◦ Zu sagen, dass g(x) nicht achsensymmetrisch ist, ist also falsch.
◦ g(x) ist zwar nicht achsensymmetrisch zur y-Achse, aber zu a(x).

Welche Angabe ist immer wichtig?


◦ Man sollte immer sagen, worauf man die Symmetrie bezieht.
◦ Damit vermeidet man Mehrdeutigkeiten.
◦ Gut: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
◦ Gut: Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden f(x)=-0,5x.
◦ Nicht gut: Der Graph ist achsensymmetrisch.

Welche Graphen sind immer achsensymmetrisch zu y-Achse?


◦ Die Graphen aller konstanten Funktionen,
◦ die Graphen aller reinquadratischen Funktionen,
◦ die Graphen aller reinquartischen Funktionen,
◦ der Graph der einfachen Cosinusfunktion,
◦ alle Graphen von Betragsfunktionen
◦ alle Graphen von ganzrationalen Funktionen, ...
◦ die nur geradzahlige Exponenten haben.
◦ Siehe auch => gerade Funktion

Was ist die Exponentenregel? =====

◦ f(x) = 3x^4+2x³-4x²+x-16 ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
◦ f(x) = 3x^4+4x²-16 ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
◦ Für ganzrationale Funktionen gibt es eine einfache Regel:
◦ Kommt x nur mit geradzahligen Exponenten vor, dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-_Achse.
◦ Dabei gilt: x ist wie x¹ und damit nicht geradzahlig. Aber 4 ist wie 4·x° und damit geradzahlig.
◦ Eine reine Zahl gilt als geradzahlige Potenz von x.
◦ Siehe auch => geradzahlig

Beispiele für achsensymmetrische Funktionen?


=> f(x)=x^2
=> f(x)=x^4
=> f(x)=x^2+1
=> f(x)=x^4-x^2
=> f(x)=cos(x)