Ableiten über Produktregel
Anleitung
Basiswissen
f(x) = u·v gibt abgeleitet f'(x) = u'·v + u·v': u ist dabei die linke Seite von einem Malzeichen und v ist die recht Seite von einem Malzeichen. u und v können ein x enthalten oder auch nicht. Hat man einen Funktionsterm, bei dem das x auf zwei Seiten von einem Malzeichen steht, dann hat man eine sogenannte Produktfunktion und muss dann zwingend die Produktregel benutzen. Das ist hier kurz vorgestellt.
Wann muss man die Produktregel anwenden?
Immer dann, wenn ein x einmal links und einmal rechts von einem Malpunkt (sichtbar oder gedacht) steht, dann muss man die Produktregel anwenden. Kann man den Funktionsterm aber vorher so umformen, dass das x nicht mehr auf zwei Seiten eines Malpunktes steht, kann man die Produktregel vermeiden.
- f(x) = x²·cos(x) -> Produktregel muss genommen werden
- f(x) = (x²-4)·e^x -> Produktregel muss genommen werden
- f(x) = (x²-4)·x -> umformen zu -> x³-4x -> Produktregel ist nicht nötig
- f(x) = x²·x -> umformen zu f(x) = x³ -> Produktregel ist nicht nötig (externer Link)
Was muss für die Produktregel gegeben sein?
- f(x) = u mal v
- u = Term links vom Malzeichen
- v = Term rechts vom Malzeichen
Ableiten über die Produktregel
- f'(x) = u'·v + u·v'
Die Produktregel in Worten
- Die Ableitung f'(x) ist also: u abgeleitet mal v plus u mal v abgeleitet
- Oder: links abgeleitet mal rechts plus rechts abgeleitet mal links
- Oder: links abgeleitet mal rechts plus links mal rechts abgeleitet
Beispiel I zur Produktregel
- f(x) = x·(x+2) | x ist das u und (x+2) ist das v
- f'(x) = 1·(x+2) + x·1
- f'(x) = 2x + 2
Beispiel II zur Produktregel
- f(x) = x·e^x
- f'(x) = 1·e^x + x·e^x
Beispiel III zur Produktregel
- f(x) = x²·sin(x)
- f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
