Tangentengleichung über Normalform
Wie man t(x)=mx+b für eine Tangente findet
Basiswissen
Gegeben ist eine Funktionsgleichung f(x) und der x-Wert eines Punktes auf dem Graphen. Daraus kann man die Gleichung y=mx+b der Tangente an dem Punkt bestimmen. Das wird hier Schritt für Schritt erklärt.
Aufabentyp
- Gegeben ist die Funktion, z. B.: f(x)=x².
- Gegeben ist ist eine Stelle xo (sprich: x-Null), im Beispiel xo=1.
- Auf dem Graphen von f(x) gibt es einen Punkt mit diesem x-Wert.
- An diesen Punkt soll eine Tangente angelegt werden.
- Eine Tangente ist immer eine Gerade.
- Gesucht ist ihre Gleichung in Normalform.
I. Normalform aufschreiben
- Schreibe die Normalform hin: t(x)=mx+b.
- (Oft findet man statt f(x) auch y, also: y=mx+b)
- Ziel ist es, für m und b Zahlen zu bestimmen.
- Das m ist die Steigung der Tangente.
- Das b ist ihr y-Achsenabschnitt.
- Siehe auch y=mx+b ↗
II. Berührpunkt bestimmen
- Dort wo die Tangente den Graphen von f(x) berührt ...
- dort haben f(x) und die Tangente dieselben x- und y-Werte.
- Dieser gemeinsame Punkt von f(x) und t(x) heißt auch Berührpunkt ↗
- Der x-Wert, manchmal auch Stelle genannt, ist meistens gegeben.
- Wenn man den gegeben x-Wert (hier 1) in f(x) einsetzt, ...
- dann hat man automatisch den y-Wert von f(x) und ...
- damit auch von der Tangente, im Beispiel: f(1)=1
- Also hier im Beispiel (1|1) der Berührpunkt ↗
- Der Berührpunkt ist auch ein Punkt der gesuchten Tangente.
- Was noch fehlt ist die Steigung der Tangente.
- Diese wird im nächsten Schritt berechnet.
III. Steigung m bestimmen
- Dort wo x=1 ist berührt die Tangente den Graph von f(x).
- Das Berühren meint automatisch auch, dass, ...
- f(x) und t(x) an dem Berührpunkt dieselbe Steigung haben.
- Von f(x) kann man die Steigung über die erste Ableitung finden.
- Man leitet f(x) dann ab zu f'(x) und setzt den ...
- in der Aufgabenstellung vorgegebenen x-Wert ein.
- Im Beispiel: f'(x)=2x, dafür x=1 einsetzen gibt: 2
- Die Steigung m der Tangente ist dann m=2.
- Jetzt kennt man die Steigung der Tangente.
- Und man kennt einen Punkt der Tangente (Schritt II)
- Damit kann man im nächsten Schritt die Geradengleichung aufstellen.
IV Geradengleichung aufstellen
- Jetzt hat man die Steigung und einen Punkt einer Geraden.
- Wie man daraus zu einer Geradengleichung (mit b) kommt ist ...
- erklärt unter Geradengleichung aus Steigung und Punkt ↗
V Ergebnis aufschreiben
- Im Beispiel wäre das Ergebnis t(x)=2(x-1)+1
- Vereinfacht gibt das: t(x)=2x-1 ✔