Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

f'(x) anschaulich

Basiswissen

Den Wert einer ersten Ableitung kann man graphisch und im Sachkontext auf verschiedene Weisen deuten. Eine Deutung ist: wie viel mal so stark ändert sich y wie x. Dazu werden hier auch praktische Versuche vorgestellt.

Schritt-für-Schritt Erklärung

Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...

dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.

Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.

Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.

Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?

Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...

den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...

dazugehörige y-Wert - oder f(x) ungefähr 6mal so stark.

Beispiel Quadratflächenwachstum

x steht für die Seitenlänge eines Quadrates.

f(x) steht dann für den Flächeninhalt.

Die Funktionsgleichung ist: f(x)=x²

Was bedeutet dann f'(x), z. B. bei x=3?

f'(3) wäre 6. Bei x=3 hat die erste Ableitung den Wert 6.

Das meint: wenn man in der Nähe von x=3 den x-Wert wenig ändert ...

dann ändert sich der y-Wert - also f(x) - ungefähr 6 mal so viel.

Dazu einen Zahlenprobe: Bei genau x=3 ist f(x) genau 9.

Jetzt erhöhen wir x um 0,1.

Dann sollte sich der y-Wert um etwa das 6-fache, also um 0,6 erhöhen.

f(3,1) gibt genau 9,61, das ist ungefähr 0,6 mehr als vorher.

Es passt also: die erste Ableitung sagt, wie viel mal so viel ...

sich der y-Wert ändert, wie der x-Wert.

Siehe auch Kiste 1 Quadratflächenwachstum ↗

Beispiel Leiterstellversuch

Eine Leiter wird schräg an eine senkrechte Hauswand angelehnt. Das kleine x steht für den Abstand des Leiterfußes von der Hauswand am Boden. Das kleine y steht für die Höhe des obersten Leiterpunktes über dem Boden. Jede Änderung von x ist dann ein Δx. Und zu jedem Δx gehört dann auch ein entsprechendes Δy.

Zu jeder Änderung Δx gehört eine entsprechende Änderung Δy.

Steht die Leiter sehr steil an der Hauswand, dann kann man x um zum Beispiel 10 Millimeter ändern. Der y-Wert wird sich dann um nur sehr wenige Millimeter ändern. Das heißt, anders gesagt, selbst wenn man die Entfernung des Fußpunktes der Leiter recht stark verändert, verändert sich die Höhe des Anlehnungpunktes am oberen Ende der Leiter nur wenig. Anders sieht es aus, wenn die Leiter sehr flach an das Haus angelehnt ist: hier führt eine Änderung von x um etwa 10 Millimeter zu einer fast ebenso großen Veränderung von y. Siehe auch Kiste 17 Versuch Leiterstellhöhe ↗