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Parabelgleichung aus zwei Punkten

Anleitung

Basiswissen


Man sucht eine Parabelgleichung, auch quadratische Funktion genannt, deren Graph durch zwei gegebene Punkte geht. Hier stehen eine Anleitung und Aufgaben dazu.

Was meint Parabelgleichung?



3. Fälle


Je nachdem, wie die Punkte liegen und was man noch über sie weiß, kann die Aufgaben unlösbar sein (Fall 1), genau eine Lösung haben (Fall 2) oder unendlich viele Lösungen haben (Fall 3). Diese Fälle werden jetzt behandelt.

Fall 1: Punkte liegen senkrecht übereinander


Mit anderen Worten: die beiden Punkte haben die gleichen x-Werte. In diesem Fall gibt es keine Parabel durch die zwei Punkte. Die Aufgabe ist nicht lösbar. Es gibt keine Parabel als Graph einer quadratischen Funktion, die durch zwei Punkte geht, die senkrecht übereinander liegen.

Fall 2: ein Punkt ist der Scheitelpunkt



Fall 3: Es gibt zwei Punkte, die nicht übereinander liegen


Man hat zwei Punkte, sie liegen nicht übereinander und man weiß nicht, ob oder welcher der Punkte der Scheitelpunkt ist. Nun gibt es unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. Das kann man sich leicht klarmachen, indem man Parabeln gedanklich staucht oder streckt und dabei verschiebt. Um mindestens eine Parabelgleichung durch die zwei Punkte zu finden, kann man (immer) so vorgehen: Schreibe die allgemeine Form der Parabelgleichung auf: y = ax² + bx + c. Wähle für a irgendeinen beliebigen Wert und setze ihn als Zahl in die Gleichung ein. Nun erstellen wir mit diesem a-Wert zwei weitere Gleichungen, indem wir einmal den ersten, dann den zweiten Punkt einsetzen. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten b und c. Man kann es zum Beispiel mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen. Am Ende schreibt man die Parabelgleichung mit den Zahlenwerten für a, b und c hin. x und y bleiben als Buchstaben in der Gleichung stehen. Siehe auch lineares Gleichungssystem lösen ↗